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exercices tables d'addition jusqu'à 5

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Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

avec les enfants de 4 à 7 ans
Inspecteur départemental de l'Éducation nationale
Ancienne Institutrice de Cours Préparatoire
manuel de pédagogie pratique
pour les écoles maternelles,
les classes enfantines,
et les cours préparatoires
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

Table des matières
I- PRÉFACE .......................................................................................................................... 3
II- LES PRINCIPES ESSENTIELS DE L'APPRENTISSAGE DU CALCUL .......................... 4
Programmes. ...................................................................................................................................... 4
Instructions officielles. ..................................................................................................................... 4
Partir du concret. ............................................................................................................................... 5
Ne pas enliser l'enfant dans le concret. .......................................................................................... 6
Éviter le comptage unité par unité. .................................................................................................. 7
Le matériel doit faire accéder l'enfant au stade des invariants. ................................................... 8
Il faut entraîner à l'analyse et à la synthèse. .................................................................................. 9
Il faut donner une place privilégiée à la 1re dizaine. ..................................................................... 9
Il faut mettre en valeur la deuxième dizaine. ................................................................................ 10
Il faut donner la notion d'opérations et faire acquérir le mécanisme de celles-ci. ................... 10
Enfin, il faut que ce soit l'enfant lui-même qui « découvre». ...................................................... 11
III- À L'ÉCOLE MATERNELLE ............................................................................................12
IV- AU COURS PRÉPARATOIRE........................................................................................15
1, 2, PLUSIEURS. ................................................................................................................................................. 17
LE NOMBRE 5 ...................................................................................................................................................... 18
DÉCOMPOSITION DU NOMBRE. ........................................................................................................................ 19
DE 1 À 5. RÉVISION ............................................................................................................................................. 23
LE NOMBRE 8 ...................................................................................................................................................... 25
De 1 À 9 ................................................................................................................................................................ 30
LE ZÉRO ............................................................................................................................................................... 32
LA DIZAINE .......................................................................................................................................................... 35
LES DIZAINES ...................................................................................................................................................... 36
LE DÉCIMÈTRE .................................................................................................................................................... 39
OPÉRATIONS ....................................................................................................................................................... 40
LA NUMÉRATION ORDINALE ............................................................................................................................. 41
LA DEUXIÈME DIZAINE ....................................................................................................................................... 43
DÉCOMPOSITION DES NOMBRES..................................................................................................................... 45
LES DIZAINES : PASSAGE DE 19 À 20, DE 29 À 30 ......................................................................................... 48
ADDITION ET SOUSTRACTION SANS RETENUE ............................................................................................. 49
ADDITION AVEC RETENUE ................................................................................................................................ 51
MULTIPLICATIONS .............................................................................................................................................. 53
LA DIVISION ......................................................................................................................................................... 54
LES NOMBRES DE 1 À 60 ................................................................................................................................... 56
L'HEURE ............................................................................................................................................................... 59
LES NOMBRES DE 60 À 100 ............................................................................................................................... 61
LE DAMIER DE CENT CASES ............................................................................................................................. 64
LA SOUSTRACTION AVEC RETENUE ............................................................................................................... 67
LE MÈTRE A RUBAN ........................................................................................................................................... 69
RÉVISION GÉNÉRALE DES OPÉRATIONS ........................................................................................................ 71
LES PROBLÈMES ................................................................................................................................................ 73
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)


« Le calcul est une des disciplines les plus formatives pour l'esprit », disait le Dr
DECROLY.
Elle est, en outre, de celles qui peuvent être abordées très tôt car les chiffres
suscitent plus encore que les lettres l'attention des jeunes enfants dans notre
civilisation mécanicienne.
Le nombre, en effet, est partout ; l'enfant le voit sur la porte de sa maison, sur
l'automobile de papa, sur les objets des boutiques, etc. Bref, les débuts du calcul se
placent avant les débuts de la lecture parce qu'ils sont, en quelque sorte, intégrés
dans l'expérience quotidienne.
Cependant cet intérêt spontané des enfants pour les nombres s'arrête dès que les
difficultés apparaissent, si elles ne sont pas abordées dans l'ordre rigoureux qui
convient.
Plus que n'importe quelle science, le calcul exige un bon apprentissage. Il faut
connaître l'ordre des étapes et n'en brûler aucune. La solidité de la chaîne est liée à
celle de tous ses maillons ; si un seul faiblit, tout est compromis.
Rien de plus facile si l'on prend le bon chemin.
Mais rien n'est plus, difficile que de corriger les erreurs initiales.
Les auteurs, experts en la matière, présentent ici clairement la série des exercices
longuement expérimentés qui doivent être faits pour l'apprentissage du calcul.
Ils ont estimé, et avec raison, que cette science de l'abstrait partait d'abord du
concret.
Cependant, après la période de l'initiation sensorielle qui se situe entre trois et
cinq ans, il importe de disposer, pour aboutir à l'abstraction, d'un matériel non
figuratif afin que les éléments à compter ne puissent évoquer que des ensembles
dont le nombre émergera tout naturellement, sinon l'enfant risque de se perdre dans
l'évocation d'objets ou d'animaux dont la représentation fait, de certains cahiers de
calcul, de simples livres d'images.
Au stade de la numération et des opérations, qui peut être abordé entre 5 et 6 ans,
R. et M. Fareng ont su exploiter à fond les ressources de notre matériel des
PLAQUETTES dont un professeur agrégé de mathématiques, qui cherchait un jour à
en faire la critique, reconnut « qu'il était rigoureux et qu'il allait très loin ».
Les auteurs l'ont retenu après une longue expérimentation, parce qu'il leur a
semblé « le mieux remplir les conditions posées à la fois par la psychologie et la
pédagogie ».
Il suffit de regarder la table des matières de cet ouvrage pour constater
l'excellence de ses principes, la rigueur de sa méthode, et la richesse de son
contenu.
C'est un guide très sûr pour l'apprentissage du calcul dans les écoles maternelles
et au cours préparatoire.
Il permettra à tous les maîtres, et à toutes les maîtresses de ces classes, de
donner un bon départ à cet enseignement des mathématiques, ce nouveau langage
de notre temps qu'il n'est plus permis d'ignorer.

Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

II- LES PRINCIPES ESSENTIELS DE L'APPRENTISSAGE

L'enseignement du calcul donné aux enfants de 5 à 7 ans doit suivre quelques
principes essentiels.
Il doit tout d'abord répondre aux Instructions officielles et aux programmes des
Écoles maternelles et des Cours préparatoires.
Il doit « partir du concret », donc utiliser un certain matériel ; mais il doit éviter
l'enlisement dans le concret. Il faut éviter le comptage unité par unité, tout en
donnant la suite des nombres, faire accéder à la notion d'invariance, entraîner à
l'analyse et à la synthèse, donner une place privilégiée à la première dizaine en
mettant aussi en valeur la deuxième. La notion d'opérations doit être acquise en
même temps que leur mécanisme. Enfin le matériel fourni doit permettre la conduite
simultanée de l'enseignement collectif et de l'enseignement individualisé en
promouvant une méthode active de redécouverte.

2) Écoles maternelles. -- Grande section. Groupements d'objets : vingt, trente,
quarante, jusqu'à cinquante. Demi, moitié, tiers, quart.
Petits exercices de calcul mental : additions, soustractions, multiplications,
divisions.
Représentation des nombres de l'unité jusqu'à cinquante.
Petits exercices écrits de calcul avec dessins correspondants.
Exercices et jeux avec le mètre, le franc, le litre, les poids (balance, kilo).

2) Cours préparatoires. -- 3h45 (trois leçons de 15 minutes par jour.)
Étude concrète des nombres de 1 à 5, puis de 5 à 10, puis de 10 à 20. Formation,
décomposition, nom et écriture.
Usage des pièces (et billets) de 1, 2, 5, 10 francs, du décimètre et du double
décimètre gradués en centimètres.
Les nombres de 1 à 100. Dizaines et demi-dizaines. Compter par 2, par 10, par 5.
Usage du damier de 100 cases et du mètre à ruban.
Exercices et problèmes concrets d'addition, de comparaison, de soustraction
(nombres d'un chiffre, puis de deux chiffres), de multiplication et de division par 2 et
5.2) Écoles maternelles. -- Aucune indication n'est donnée en ce qui concerne le
calcul. Il convient de noter simplement que le terme utilisé est « exercices
d'initiation au calcul ». La méthode générale préconisée est «
essentiellement naturelle ».

2) Cours préparatoires. -- « L'apprentissage des nombres doit se faire par
l'observation de collections d'objets simples et usuels, maniés ou dessinés.
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

L'enfant doit être habitué à reconnaître, sans énumérer, de un à cinq objets,
d'abord sur des dispositions géométriques simples, puis sur des objets groupés en
ligne, puis sur des objets sans ordre. Les nombres de 5 à 10 peuvent être étudiés et
retenus par leur formation avec 5 et un des cinq premiers nombres. Ceux de 10 à 20
sont ensuite réalisés par l'addition et la réunion d'une dizaine avec un des dix
premiers nombres.
... Pour avoir véritablement la notion d'un nombre, il faut pouvoir le reconnaître
sous ses aspects divers ; connaître son nom, sa figure, sa constitution (... des dix
premiers... et le plus possible des dix suivants...).
Cet apprentissage coïncide avec celui de la table d'addition. En outre, beaucoup
de réalisations matérielles d'additions constituent des compositions et des
décompositions de nombres.
Une particularité intéressante de beaucoup de réalisations matérielles d'additions
est qu'elles constituent un apprentissage de la soustraction ou plus précisément de
la recherche d'une partie inconnue d'une somme dont on connaît l'autre partie :
comment composer 9 avec deux nombres dont l'un est 6.
La soustraction peut être une recherche de reste... Ce peut être encore une
comparaison... À cette dernière conception se rattache la notion du nombre 0.
Les nombres de 10 à 100.... On peut d'abord faire manipuler aux enfants de vraies
dizaines d'objets... Quand cette manipulation est acquise, on peut utiliser des
dizaines figurées.
Les dizaines réelles ou figurées, complétées par des unités de même nature,
permettent de former les nombres de 1 à 99. On imaginera aisément les dispositions
matérielles permettant de réaliser cette formation.
La figuration en dizaines et unités entraîne l'écriture si l'élève sait au préalable
faire la correspondance des collections et des chiffres et connaît l'usage du chiffre 0.
Il est désirable d'apprendre d'abord à ajouter, puis à soustraire un nombre d'un
chiffre à un nombre de deux chiffres.
On pourra ensuite étudier l'addition de deux nombres de deux chiffres, d'abord
sans retenue, ensuite avec retenue.
La multiplication et la division sont limitées au cas d'un multiplicateur ou d'un
diviseur 2 ou 5... Les exemples tirés de ces nombres suffisent à illustrer la règle de la
commutativité.
On imagine aisément des illustrations ou des réalisations matérielles : des enfants
qui lèvent les deux mains, ou qui sont groupés par deux ; des rangées de couples de
points, les lignes d'un damier ; un mètre divisé en centimètres, avec des graduations
renforcées par des demi-décimètres et des décimètres, etc.
La division par 2, 10, 5, avec ou sans reste, peut se comprendre comme un
partage d'objets, en 2, ou en 10, ou en 5 parts. Elle peut se comprendre aussi
comme une répartition en couples ou paires, ou bien en dizaines, ou bien en demi-
dizaines d'objets. »
Ainsi les I. O., conseillant l'observation d'objets, leur manipulation, demandent-
elles que l'on « parte du concret ». Elles souhaitent l'emploi d'un matériel permettant
de décomposer et de recomposer les nombres par des opérations manuelles.
Cette façon de procéder remonte aux premiers âges de l'humanité, comme nous
le prouve l'ethnologie. L'abaque est un instrument connu de très anciennes
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

civilisations et encore employé.
Mais ce point de vue est surtout soutenu par des mathématiciens, des
psychologues, des épistémologues.

« On peut arriver à introduire dans la mémoire d'un enfant une certaine mécanique
du calcul : suite des nombres, table d'addition, opérations simples, ceci sans support
concret. Si l'on veut que cette mécanique ne soit pas de simple mémoire et
s'accompagne d'un début très modeste de raisonnement, il est indispensable de
l'appliquer à une manipulation effective d'objets, ou, tout au moins, à une
représentation visible de choses. »
(Chatelet, Doyen de la Faculté des sciences de Paris)

« Il est un principe fondamental qui domine en pédagogie des débuts du calcul :
avant toute acquisition abstraite l'enfant doit avoir une expérience concrète de la
notion, une familiarité suffisante avec elle pour que la formulation verbale ne
s'impose pas à lui de l'extérieur, mais qu'elle soit véritablement la traduction dans un
langage plus précis et plus ordonné d'une réalité vécue, sentie par lui. Avant
d'introduire le vocabulaire mathématique, les signes abstraits, l'éducateur devra
s'assurer que l'opération concrète est parfaitement réalisée par l'élève et ne
correspond pas à un simple automatisme. »
(Mialaret, Professeur de psychologie à la faculté de Caen)

C'est Piaget qui a le plus étudié cette nécessité d'un départ concret. Pour que
l'enfant puisse combiner des opérations, il faut qu'il ait agi. Mais, pour lui, et ceci est
capital, c'est l'action sur les objets qui importe et non les objets eux-mêmes. Cette
action, il la reproduit mentalement, il l'intériorise. Il ne s'agit pas d'expérience d'ordre
physique sur les objets, sur leurs propriétés. Comme l'avait déjà écrit Brunschvig : «
L'abstraction mathématique est avant tout un mode d'activité. L'enfant apprend
essentiellement l'ordre de manipulation : c'est une propriété de son action beaucoup
plus qu'une propriété des cailloux qu'il découvre, c'est l'expérience sur l'action
propre. »Ne pas enliser l'enfant dans le concret.

Si donc il est nécessaire d'avoir des objets concrets pour initier au calcul, ce
concret n'a d'importance que dans la mesure où il permet une action destinée à être
pensée : il ne doit pas, par une variété trop grande, une complication inutile, une
complexité intempestive, empêcher cette mentalisation ». Comment la pensée de
l'enfant ne s'enliserait-elle point devant l'abondance, la variété, l'originalité présentée
par les matériels aux formes si diverses, les livrets et les cahiers illustrés du plus
grand nombre possible d'êtres et de choses, de lapins, de lutins mêlés aux pièces de
monnaie aussi bien qu'aux épingles doubles ?
Le nombre n'est pas tiré du concret comme en sont tirées les lois physiques. Il
n'est pas une qualité, mais l'expression d'un rapport entre les objets. Plus :
l'abstraction mathématique va en sens inverse de l'abstraction physique. Comme l'a
montré Brunschvig, cette dernière aboutit à ne retenir qu'une seule image pour des
objets qualitativement identiques ; or la fusion mentale des images diverses dans
une représentation unique entraînerait une confusion que l'abstraction mathématique
a précisément pour but d'empêcher en attirant l'attention sur ce fait que ces objets
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

sont plusieurs.
On est donc amené à rejeter le matériel trop chargé de concret qui détourne
l'attention du nombre proprement dit au profit de détails émouvants ou pittoresques
sans liens avec lui, à retenir au contraire un matériel ou apparaissent les rapports
abstraits constituant les nombres, soit des collections d'éléments dépouillés,
schématiques, identiques et réguliers (la figure idéale étant, dans ce sens, le cercle).Éviter le comptage unité par unité.
La première façon de compter a consisté à faire correspondre successivement un
certain nombre de doigts avec le même nombre d'objets, d'abord en les montrant,
ensuite en les touchant. Le calcul digital -- dont on n'est pas sûr qu'il a entièrement
disparu des écoles -- trouve là ses lointaines origines. L'enfant rejoint le primitif.
Mais ce moyen commode n'est que mécanique. Et compter, ni décompter, n'est
pas calculer. Si, comme nous le verrons plus loin, le nombre est inséparable de l'idée
de collection, ici, nous n'avons qu'une succession constamment rattachée à des
données spatiales concrètes dont on ne peut s'évader. La notion acquise est
uniquement ordinale.
Sans doute, cette façon empirique fait acquérir à force de répétitions la liaison
entre le nom des nombres, l'écriture du chiffre, la position de ce nombre dans la suite
des autres, mais elle gêne la représentation du nombre, l'opération mentale, en un
mot, elle empêche l'enfant de penser, de calculer.
Ces inconvénients graves se retrouvent dans l'emploi de nombreux matériels. Le
comptage unité par unité s'opère de la même manière quand on utilise les marrons,
les bûchettes, surtout disposés de façon linéaire. Le même reproche peut être
adressé au boulier et même aux jetons. Sans doute peut-on placer marrons et jetons
sous forme de groupements numériques, mais l'intérêt de ces « constellations »
disparaît en partie si l'on place les éléments les uns après les autres. La perception
qui doit se faire à la fois du nombre, des parties, des relations entre ses parties et lui-
même, est détruite par la manipulation unité par unité. Une seule solution : présenter
chaque nombre de façon indivise.
Répondent à cette exigence, sous forme de
plaquettes, le matériel Herbinière Lebert, sous forme de réglettes, le matériel
Cuisenaire.
Il faut donc présenter des groupements numériques, et, parmi ceux-ci, les
meilleurs systèmes.
Un matériel de calcul doit, à la fois, correspondre à la structure de la pensée
infantile (en considérant, de plus, qu'il faut dépasser cette structure pour la faire
accéder à la forme adulte) et à la notion de nombre.
D'une part, la mentalité puérile est à la fois syncrétique et pointilliste ; elle saisit
globalement les ensembles et perçoit dans ceux-ci des détails privilégiés. D'autre
part, l'intelligence rationnelle doit procéder par analyse et synthèse : la connaissance
part du concret confusément appréhendé comme un tout, et, par un premier effort
d'abstraction, elle chemine vers l'analyse des éléments et de leurs relations pour
recomposer synthétiquement la totalité.
Il se trouve que les définitions du nombre données par les philosophes répondent
à cette structure de l'esprit. Pour Tannery : « le nombre « collection » est un groupe
d'unités décomposables en d'autres groupes, susceptible d'être formé de diverses
manières par la réunion d'autres groupes ». Pour Bergson, « tout nombre est UN
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

puisqu'on se le représente par une intuition simple de l'esprit et qu'on lui donne un
nom, mais cette unité est celle d'une somme, elle embrasse une multiplicité de
parties qu'on peut considérer isolément ». Si, pour cet auteur, toute idée claire du
nombre implique une vision dans l'espace, pour Wallon, également : « l'attention
saisit un bien plus grand nombre de points si ceux-ci, au lieu d'être en rangées
linéaires, présentent des possibilités de groupements. » Ainsi sont justifiées les «
figures numériques », « dispositif géométrique d'unités propres aux petits nombres ;
chacun de ces nombres se présente alors sous une physionomie particulière qui en
donne une perception instantanée sans qu'il soit besoin de compter ».
Les groupements numériques permettent la perception intuitive des
décompositions et recompositions, et, en aidant à l'abstraction, leur mémorisation.
Pour cela, ainsi que le montre Delaunay, les unités concrètes (points) doivent être
perçues comme distinctes (ce qui n'est pas possible avec les réglettes graduées ou
non, sauf le matériel Cuisenaire), en même temps que formant un tout (condition à
laquelle, à notre avis, ne répond plus le matériel Cuisenaire).
Les systèmes sont nombreux : système Beetz, pratiquement inconnu en France ;
groupements à base 5 -- celui de Freemann --, non systématiques (empruntés aux
jeux de domino, aux dés), éclectiques non raisonnés (mêlant les figurations au
hasard) ou systématiques (recherchant les meilleures « formes », Canac, par
exemple) -- groupement à base 4 (Lay) -- système à base 2 (Herbinière Lebert).
La supériorité du groupement à base 2 est indiscutable. En effet il présente les
mêmes avantages que le système Lay (base 4) sur le système à base 5 : les
nombres se forment par adjonction systématique d'une unité au nombre précédent
(itération) ; ils ne se mêlent pas, toute partie enlevée faisant retomber sur un nombre
connu, ce qui est impossible avec un autre système ; la mémorisation des
décompositions est plus rapide. Par ailleurs le système à base 2 débouche sur le
système décimal, alors que le système à base 4 conduit à la douzaine.Le matériel doit faire accéder l'enfant au stade des invariants.

C'est encore le psychologue Jean Piaget qui, dans ses ouvrages, a montré que,
chez le petit enfant, il n'y a pas conservation des ensembles. Des expériences bien
connues ont démontré que, jusqu'à un certain âge (7 ans), les simples
transformations physiques d'une quantité constante entraînaient de la part de l'enfant
des jugements d'inégalité. La même quantité d'eau est versée dans des récipients
différents de forme : le jeune enfant affirme le changement de quantité. Il aura la
même attitude s'il remplit deux de ces récipients avec le même nombre de perles
(une à une avec chaque main).
Il est bien évident que l'enfant ne peut accéder à la notion de nombre tant qu'il n'a
pas admis la conservation des équivalences (longueurs, distances, surfaces,
volumes, espace), tant que sa pensée, ainsi que le dit Piaget, n'est pas parvenue à
la « réversibilité ».
Ces stades, l'adulte ne peut aider à leur franchissement par la leçon, la parole,
voire par la démonstration. L'enfant ne peut y arriver que seul, soit que la maturation
de son système nerveux le permette, soit que l'action, les manipulations, lui fassent
dissocier qualité et quantité.
Il est vain, donc, de vouloir faire calculer l'enfant tant que la notion d'invariance
n'est pas acquise. Et il faut sans cesse fortifier cette notion extrêmement importante
en mathématiques, tout au long de la scolarité. Déjà la distinction entre abstraction
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

pratique et abstraction physique nous avait convaincu qu'il fallait rejeter la variété
dans la disposition des unités concrètes ainsi que dans le choix de ces unités. Nous
partageons le point de vue de Delaunay : « Certaines figures numériques doivent
être fondamentales, privilégiées. » Un matériel de base permet seul,
postérieurement, des variations. Mais chaque nombre lui-même doit rester constant,
quelles que soient les décompositions mises en valeur. Le groupement numérique
qui le représente sert de témoin. Que l'on examine par exemple comment les
plaquettes Herbinière Lebert permettent l'étude du nombre 7 : la forme de ce dernier
nombre est constante quand sa structure interne varie : il y a conservation absolue
de sa totalité dans l'espace, quoique les relations de ses diverses parties soient sans
cesse modifiées.Il faut entraîner à l'analyse et à la synthèse.

Les instructions officielles, rappelons-le, précisent : « Pour avoir véritablement la
notion d'un nombre, il faut pouvoir le reconnaître sous ses aspects divers, connaître
son nom, sa figure, sa constitution ». Faire trouver que 7 = 6 + 1 = 5 +2 = 4 + 3 = 3 +
3 + 1 = 2 + 2 + 2 + 1, etc., c'est procéder à l'analyse et à la synthèse de la
constitution du nombre.
C'est là un exercice difficile pour l'enfant, lequel procède par juxtaposition, par
passage du singulier au singulier, par « transduction », suivant l'expression de Stern.
Mais l'émergence des valeurs permanentes, des invariants, l'accès à la réversibilité
permettent graduellement le va-et-vient de l'analyse à la synthèse, mouvement
essentiel de la pensée mathématique, de la pensée rationnelle, cartésienne, dirions-
nous.
Nous ne pensons pas qu'il soit nécessaire d'insister sur la nécessité d'un matériel
entraînant, de par sa conception, à l'analyse et à la synthèse, et, répétons-le, sans le
passage de l'unité à l'unité, mais par sommes, par groupes, par ensembles. Le
simple examen des décompositions d'un nombre à partir des réglettes Cuisenaire, à
partir des plaquettes Herbinière-Lebert fait comprendre comment il peut être répondu
à cette exigence.
Cette démarche de l'esprit doit se retrouver dans toutes les disciplines. Mme
l'Inspectrice générale Boscher a montré que l'apprentissage de la lecture avec la
méthode à point de départ global favorisait l'initiation au calcul. Inversement, nous
pourrions, démarquant ses paroles, dire : « Un enfant entraîné en calcul à la
perception globale des nombres, à l'analyse spontanée de leurs éléments et au
regroupement de ceux-ci... cet enfant, qui a ainsi découvert la mobilité des éléments
des groupements numériques, n'est-il pas préparé par là-même à percevoir
globalement, à décomposer, à recomposer des phrases et des mots ? »Il faut donner une place privilégiée à la 1re dizaine.
On trouvera ci-après une leçon pratique sur la dizaine considérée comme unité
d'ordre supérieur. Il convient de marquer l'importance de ce relai et, à cette occasion,
de bien prendre conscience de l'importance du zéro. Celui-ci, on le sait, n'a été
adopté en France, après bien des difficultés, qu'au XVIe siècle. L'enfant doit
comprendre ce que l'humanité a mis des millénaires à inventer : la numération de
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

position sans laquelle ni science des nombres, ni science tout court n'auraient existé.
Il est donc souhaitable d'utiliser un matériel :
1° Dont les dizaines peuvent se compter aussi aisément que les unités simples.
2° Qui montre le rôle et la nécessité du zéro :
-- pour marquer l'absence d'un chiffre d'un certain ordre ;
-- comme opérateur (c'est-à-dire décuplant immédiatement la valeur d'un nombre
quand il est écrit à la droite de celui-ci).
3° Qui fait apparaître la distinction essentielle de la numération, la différence entre
la valeur absolue et relative d'un chiffre. Ainsi un enfant de C.P. doit savoir que dans
37, par exemple, il y a 3 dizaines et 7 unités simples, que le chiffre des dizaines est
3, celui des unités simples 7, que 3 représente 30 unités simples, que 37 est une
collection de 37 unités simples. Si on demande à un élève « combien y a-t-il d'unités
dans 37 ?» et qu'il réponde 7, il n'a pas compris.
4° Faisant apercevoir le passage d'une dizaine à l'autre.
5° Montrant l'analyse de formation des dizaines successives1.Il faut mettre en valeur la deuxième dizaine.
Pour M. Mialaret, l'étude de celle-ci forme « le pivot même et le stade essentiel de
l'initiation au calcul ».
En effet l'étude des nombres de 11 à 19 offre encore l'occasion de réviser
longuement les nombres de la première dizaine, d'en assurer la connaissance et le
maniement ; elle est la base des tables d'addition, instrument essentiel par la suite ;
enfin, et peut-être surtout, on entre décidément dans le domaine des nombres trop
grands pour que les collections d'objets correspondants puissent être vraiment
imaginées ou même distinctement perçues.Il faut donner la notion d'opérations et faire acquérir le mécanisme de
Pour cela le matériel doit permettre toutes les décompositions et compositions
démontrant ainsi la commutativité, l'associativité, le principe des opérations inverses
-- et aussi donnant le sens des opérations : additions (réunir et ajouter),
soustractions (recherche du reste, du complément, de la différence entre deux
quantités), multiplication (substitution de l'addition de nombres égaux), division
(calcul de parts, c'est-à-dire répartition, et de la valeur d'une part, c'est-à-dire
partage).
Peu de matériels sont utilisables pour l'acquisition du mécanisme. Or celui-ci doit
être tel que la disposition écrite, la démarche pratique, le raisonnement, soient le
décalque parfait de la manipulation. L'opération effectuée concrètement doit pouvoir
se reproduire fidèlement par écrit. Un mécanisme monté verbalement et par imitation
n'aura jamais la même valeur que celui auquel on accède à travers une activité

1 Ces divers points sont particulièrement illustrés dans la notice accompagnant le matériel
Herbinière Lebert, ainsi que dans l'opuscule Pédagogie des début du calcul par Mialaret, éd.
Nathan.
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

d'abord manuelle. Encore faut-il que celle-ci puisse être transcrite rigoureusement,
ce qui est rarement le cas dans la majorité des matériels (et qui est impossible, par
exemple, avec les « dominos »).Enfin, il faut que ce soit l'enfant lui-même qui « découvre».

Pour Alain : « Il n'est de progrès pour nul écolier au monde, ni en ce qu'il entend,
ni en ce qu'il voit, mais seulement en ce qu'il fait. » Piaget le redit, sous une autre
forme : « Un enfant a infiniment à gagner à faire pendant trois jours une expérience
qu'il fait lui-même, plutôt que de passer un quart d'heure à la lui montrer. »
Si donc le nombre ne s'acquiert qu'à partir de manipulations concrètes, menées le
plus librement possible par chacun, il est indispensable que tous les élèves aient leur
matériel individuel (il faut donc que celui-ci soit simple, peu encombrant, léger,
maniable, insonore, lavable). Le maître doit pouvoir, de loin et rapidement, contrôler
l'emploi qui en est fait, mais, surtout, ce matériel doit être auto-correctif.
Ainsi l'enfant pourra travailler seul, soit parce que, dans une classe à tous cours, le
maître s'occupe pendant ce temps des autres élèves, soit parce que, dans un cours
homogène, on laisse, en bonne pédagogie, les élèves travailler à leur guise pendant
une phase d'activités libres.
Une leçon de calcul, quoique limitée dans son objet et son déroulement, résumera
les principes généraux de l'initiation au calcul. Il conviendra de partir du concret pour
s'élever à l'abstrait et revenir au concret ; de partir d'une vue globale du nombre,
pour, procédant par analyse et synthèse, accéder à une totalité construite ; de partir
de l'activité personnelle de chaque enfant, d'abord libre, pour la diriger
éventuellement ou pour la contrôler.
On ne fournira pas des résultats mais on mettra l'enfant en situation, sinon de
trouver, du moins de chercher ; on ne lui donnera pas un savoir mais on lui permettra
d'inventer sa méthode.
Nous avons essayé de mettre en lumière les principes essentiels des premiers
apprentissages du calcul. Ces considérations théoriques nous ont finalement
amenés à faire choix d'un matériel d'enseignement.
Procédant par éliminations successives, nous n'avons pas adopté les matériels
trop coûteux, trop volumineux, trop compliqués, trop pittoresques, dont les éléments
se manipulent un à un (ou qui, inversement, ne donnent pas la succession des
nombres, la notion ordinale), les matériels fondés sur la variété, ceux qui ne
permettent pas à travers les décompositions de conserver une forme stable à la
figuration du nombre. En ce qui concerne cette figuration, nous n'avons pas retenu
les groupements numériques quelconques, ou à base 5 ou à base 4. Nous avons
rejeté les dispositifs qui ne permettaient pas l'étude des mécanismes des opérations.
Enfin, nous avons éliminé les matériels qui, pour de multiples raisons, ne pouvaient
être utilisés simultanément par tous les élèves d'une classe ainsi que par le maître.
Le matériel qui nous a semblé le mieux remplir les conditions posées à la fois par
la psychologie et la pédagogie est constitué par les plaquettes de calcul de Madame
l'Inspectrice générale Herbinière Lebert. Nous l'avons donc adopté.
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)


Les exercices de calcul se font sous la forme d'exercices sensoriels,
comparaisons de grandeurs continues réalisées par des triages, des classements
dont la technique simple plaît beaucoup aux enfants.
Les grandeurs discontinues sont présentées sous la forme de groupements des
cinq premiers nombres, perceptibles globalement, c'est-à-dire d'ensembles qui sont,
avant le nombre, la première réalité.
L'observation et la manipulation d'objets variés conduira intuitivement à découvrir
cette qualité nouvelle des choses : leur aspect quantitatif qui ne dépendra plus de
leur aspect qualitatif.
Les expressions plus grand, moins grand, etc. ont donné leur sens général au
PLUS et au MOINS dont on aura besoin pour le calcul véritable.
La notion d'égalité a pu être vérifiée facilement sur des volumes, des surfaces et
surtout des longueurs.
Le nombre n'a encore fait qu'une apparition discrète dans le langage quotidien ; un
nez, deux yeux... puis trois, quatre et cinq, directement perçus et aisément
différenciés.
L'unité s'est dégagée de toutes ces expériences des groupes d'objets. Avec elle,
la conception du nombre devient possible puisqu'elle en est l'élément constitutif.
L'étude de la numération peut commencer.



On ne renoncera pas aux diverses expériences sensorielles faites précédemment
et les manipulations d'objets seront la forme des opérations.
Un matériel non figuratif, comme nos plaquettes, qui sont ici le matériel adopté,
permet de garder le contact avec le concret sans s'y perdre.
Voici quelle doit être la progression des exercices avec les enfants de 5 à 6 ans
pour l'étude de la numération décimale :

1. Formation de la suite des nombres de 1 à 5 (itération de l'unité). Numération
directe et inverse. Emploi des termes : ajouter, retirer.

2. Exercices sur ces cinq premiers nombres : essai d'analyse : 3 c'est 2 et 1 ou
1 et 2, 4 c'est 3 et 1 ou 1 et 3, puis 2 et 2, etc.

3. Formation des nombres jusqu'à 9.
Ces expériences sur des nombres déjà bien connus permettent de continuer, par
analogie, à former les autres nombres jusqu'à 9. Chaque nombre nouveau est
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

comparé à ceux déjà connus : 6 est d'abord 5 et 1 selon le principe de sa formation.
Mais c'est aussi 4 et 2, 3 et 3, 2 et 4, 1 et 5.
Les exercices de partage sont abordés rapidement ; à cette occasion on trouvera
facilement -- notre matériel le révèle d'emblée -- le sens des termes pairs et
impairs.
Le partage de certains nombres en parties égales, comme 8 qui est 2 et 2 et 2 et
encore 2, prépare à l'idée de la multiplication, cette addition abrégée.

4. La numération par dizaines.
On compte par dizaines comme on compte par unités.
Le zéro sera présenté d'abord simplement comme un signe de différenciation ; il
sera expliqué au cours de la formation de la seconde dizaine.

5. La seconde dizaine.
Le principe de l'itération de l'unité continue à s'appliquer. L'écriture fait apparaître
la notion de catégories.
Le zéro tient la place de la catégorie manquante. Voilà un de ses sens expliqué.
C'est un chiffre, ce n'est pas un nombre. Il sera toujours lié à la notion d'absence, de
rien, car c'est aussi ce qui reste quand on soustrait deux nombres égaux.
Naturellement, il s'efface devant le nombre d'unités qui accompagnent la dizaine.

6. Le passage de 19 à 20.
On fait immédiatement comprendre l'analogie avec 29-30, 39-40, etc.

7. Construction des 3e, 4e, 5e dizaines.

a) OPÉRATIONS.
Elles se font sur les nombres étudiés.
Pour chacun on ajoute, on retire, on partage, on regroupe.
Ces opérations, qui peuvent se faire avec le matériel mais qui peuvent trouver des
applications concrètes sous la forme de problèmes, ou si l'on veut, de situations
réelles ou organisées, font découvrir les nombres complémentaires deux à deux, si
utiles pour l'addition et la soustraction, et le caractère privilégié de certains nombres
qui peuvent se décomposer de plusieurs façons, tels 12, 18, 20.

b) EXERCICES DE CONTRÔLES.
Ils accompagnent tous les exercices qui
introduisent une notion nouvelle :
lecture de nombres, écriture de nombres, représentation de nombres avec le
matériel, par le dessin, etc.
Les chiffres sont enseignés avec les nombres qu'ils représentent.
Les exercices graphiques porteront :
au moment de l'écriture, sur la forme des 10 chiffres,
pour chaque exercice de calcul
, sous la forme d'une représentation graphique :
plaquettes ou autres figurations.

c) REMARQUES. Les instructions indiquent qu'il ne faut étudier que les 50
premiers nombres.
S'il est bon de n'opérer que sur ces 50 premiers nombres pour éviter de trop
lourdes manipulations qui risqueraient d'embrouiller les comptes, il n'est pas possible
d'enseigner la numération décimale sans aller jusqu'à cent. C'est le bon sens.

Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

d) L'EMPLOI DES SIGNES. : +, -, =, sont d'un emploi difficile à l'école maternelle.
Certes, les enfants copient facilement l'expression mathématique des opérations
qu'ils effectuent avec leur matériel. Mais il n'est pas sûr qu'ils en comprennent tout à
fait la valeur.
Leur apparition tardive, pour les bien-doués qui ont atteint ou dépassé six ans,
peut être tolérée. Mais leur emploi systématique sera réservé, après quelques
semaines d'expériences qui reprennent d'abord celles de l'école maternelle, au cours
préparatoire.

e) LES RÉSULTATS. Si la progression est bien suivie avec les arrêts nécessaires,
les retours en arrière fréquents, les enfants peuvent en fin d'année connaître la
numération jusqu'à 100 et même le nom des nombres -- ce n'est pas une difficulté
--, les lire et les écrire.
Ils savent le sens des quatre opérations et peuvent en effectuer sur de petits
nombres.
Quelques-uns ont appris à construire les tables d'addition de 1, de 2, etc., jusqu'à
5 ; parfois la table de multiplication des 2 et des 5.
L'idée de la demie, du tiers, du quart est comprise.
Poids et mesures ont été employés dans le jeu de la marchande selon la
technique de Decroly, d'abord avec des mesures naturelles puis codifiées, c'est-à-
dire usuelles : le mètre, le kilo, etc.
Les monnaies sont complexes. On n'utilisera que le franc.
On trouvera, dans Cherche et Trouve (cahier n° 5), d'excellents exercices de
calcul (Nathan éditeur).

Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)


CALCUL (Cours préparatoire) Répartition

Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)



CALCUL (Cours préparatoire) Répartition

Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)


Ces leçons sur un, deux, plusieurs, zéro, semblent à première vue bien inutiles,
car l'enfant arrive de la maternelle avec une connaissance des premiers nombres ;
mais cette connaissance est bien intuitive, et il est nécessaire de préciser de
nombreuses notions (en particulier l'idée des signes plus et moins).

I. Présentation des nombres 1 et 2 par opposition à plusieurs et à 0.
Montrer un sac de billes (avec suffisamment de billes pour qu'elles ne soient
pas dénombrables : en effet l'enfant, fier de sa science, serait heureux de dire « il y a
7 ou 8... billes). Demander : combien ai-je de billes? « Beaucoup », sera la réponse.
Faire dire « plusieurs ».
-- Enlever des billes ; reposer la question. Nous aurons comme réponse « moins
» (ce qui est juste), mais faites constater que l'on en a toujours « plusieurs ».
-- Diminuer ainsi de plus en plus, pour n'avoir plus qu'une bille. Là, l'enfant
donnera la réponse exacte. Faire opposer 1 à « plusieurs ». Mettre une autre bille ;
obtenir 2 comme réponse et faire remarquer que 2 c'est encore « plusieurs », mais
c'est « peu ». Enlever toutes les billes. Demander combien en ai-je? Beaucoup
d'élèves répondront : « il n'y a rien ». On dit alors « zéro » (cette notion est
importante ; elle permet de comprendre et d'expliquer le rôle essentiel dans notre
numération décimale du 0, en particulier dans la présentation ultérieure de 10).
Ces exercices doivent être recommencés avec des cahiers, des bûchettes, des
pièces, etc.
On peut aussi jouer à ce qui est 1, 2 ou plusieurs dans la pièce, dans notre
personne, etc. (ex. : Combien y a-t-il de bureaux, de tables, de pots, de fenêtres, de
doigts dans les mains, d'yeux, de nez? etc.)

ll est bon ensuite de procéder d'une manière inverse.
Dire à l'enfant : mets sur la table plusieurs billes,
mets-en moins, mets-en plus que la première fois.
mets-en 1, 0, 2, plusieurs, etc.
À chaque question posée, le résultat doit être vérifié individuellement sur la table.
Faire bien remarquer que lorsque l'on a une quantité moins grande que la première
fois, c'est que l'on a enlevé quelques éléments. Cela nous servira lorsque nous
voudrons faire comprendre le sens du signe --.

Donner à l'enfant des confettis et une feuille préparée à l'avance sur laquelle
sont inscrits ces mots : peu, beaucoup, plusieurs, un, deux, zéro (si l'enfant apprend
à lire avec une méthode à point de départ global, cela n'offrira aucune difficulté).
Demander à l'enfant de coller au-dessus de chaque mot les confettis nécessaires
pour répondre à la question. Vérifier individuellement et faire la correction de même.
Donner ensuite des dessins où seront tracés un point, deux points, beaucoup,
moins, etc., et demander à chaque élève d'écrire dessous les mots nécessaires ; il
sera bon de faire mettre au-dessous de 2 « plusieurs » et « peu », etc.
Il est bon d'utiliser les confettis et les points, car cela amène naturellement l'enfant
au matériel employé : celui-ci, en effet, concrétise les unités par des points.
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)


Passage au matériel : donner aux élèves tout le matériel individuel dont ils
disposeront durant l'année (plusieurs plaquettes pour chaque nombre). Ceci est leur
premier contact avec le matériel de base ; leur demander de trier les plaquettes en 3
tas : celui des 1, celui des 2, celui des plusieurs. Dans le dernier tas prendre une
plaquette quelconque et demander de séparer les plaquettes qui ont « plus » de
points (que celle montrée) de celles qui en ont « moins ». Toutes ces manipulations
ont pour but de faire connaître globalement le matériel à l'élève. Il. Présentation de la graphie des nombres 1 et 2.

Avec les deux ou trois premiers nombres, le maître a souvent l'impression de
perdre son temps et est tenté d'aller vite au moment de ce premier contact.
Au contraire, il faut profiter de la facilité relative de ces premières notions pour
faire croire à l'enfant que le calcul est un jeu passionnant, non rebutant ; d'autre part,
il faut faire porter son effort sur l'écriture des nombres, écriture qui doit être aussi
parfaite que possible. Les bonnes habitudes se prennent aussi facilement que les
mauvaises et il est très difficile de se défaire de ces dernières.
L'enfant sait reconnaître dans la majorité des cas 1 et 2 ; les faire écrire après en
avoir montré les difficultés ; passer derrière chaque enfant ; vérifier les graphies ;
reprendre celles qui sont défectueuses. Faire placer sur l'ardoise... les plaquettes 1
et 2, dessous les cartons portant ces nombres, puis faire écrire, avec modèle sous
les yeux, les nombres 1, 2.
Placer au tableau successivement les plaquettes 1 et 2 (matériel collectif) et
demander aux enfants d'écrire sur l'ardoise le nombre correspondant. Vérifier par
procédé Lamartinière.

Faire chercher dans la boîte aux plaquettes les plaquettes symbolisant les 4
premiers nombres, et cela dans un ordre quelconque ; lorsqu'elles sont trouvées par
toute la classe (une vérification rapide, mais individuelle, est nécessaire), demander
aux élèves de les ranger dans l'ordre croissant. Vérifier puis épingler au tableau les
mêmes plaquettes (matériel collectif).


Faire prendre une deuxième plaquette 4, une deuxième plaquette 1 (il est à
conseiller d'avoir pour la première dizaine les plaquettes en double, les faire placer
comme l'indique le maître au tableau).

Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)


Faire chercher ensuite la plaquette qui coïncide avec les deux de la figure et dire :
cette plaquette unique c'est 5 ; faire répéter.


Montrer au tableau les plaquettes dans un ordre quelconque et faire dire
individuellement ce qu'elles représentent.
Faire chercher parmi les plaquettes individuelles celle qui représente la même
chose que celle montrée par la maîtresse.
Dire les nombres et faire chercher par chaque enfant la plaquette qui représente le
nombre, faire lever la plaquette (le contrôle est rapide).
Faire mélanger les plaquettes ; les faire placer dans l'ordre en commençant par 1,
puis par 5. Vérifier individuellement et rectifier si nécessaire.


Il faut faire associer au son 5 l'écriture 5. Les plaquettes étant encore sur l'ardoise,
faire chercher les chiffres 1, 2, 3, 4, les faire placer sous les plaquettes
correspondantes ; faire écrire dessous ces mêmes chiffres ; montrer ensuite le chiffre
5, le faire trouver et placer ; faire suivre avec le doigt sa forme en expliquant
comment s'y prendre pour l'écrire. Le faire écrire avec beaucoup d'application.
Vérifier très vite. Demander à ceux qui l'ont bien fait d'en faire une ligne (ce qui les
occupera) et corriger les mauvaises graphies. Bien insister pour ne pas laisser
s'implanter de mauvaises habitudes.
Quand l'écriture est connue, écrire 5 au tableau, faire montrer la plaquette ;
recommencer avec d'autres chiffres et revenir souvent sur 5.
Inversement, montrer la plaquette 5, faire écrire sur l'ardoise le nombre
correspondant ; recommencer avec toutes les plaquettes déjà connues.
Faire prendre le double décimètre et faire tracer 4 centimètres, puis 5 centimètres ;
faire comparer et ramener à l'idée que l'on ajoute 1 à 4 pour avoir 5.
Si on veut faire dans une leçon de travail manuel une application du calcul, on
peut faire découper des bandes de longueurs différentes, faire coller des confettis et
reconstituer les plaquettes avec diverses couleurs.


Méthode directe. -- Il faut d'abord répéter que 5 est le nombre suivant 4 et qu'il
a été obtenu par addition de 1 à 4. Cette propriété n'est pas évidente pour l'enfant, et
il faut bien y insister pour ne pas avoir des désastres au calcul mental.
Faire placer sur l'ardoise la plaquette 4 ; écrire 4 dessous ; faire placer à côté la
plaquette 1 et faire remarquer qu'on la met en plus; faire écrire symboliquement la
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

manipulation faite.
Faire chercher à l'enfant comment peut être disposée la plaquette 1 pour former
une plaquette connue ; faire donner le nom ; faire placer la plaquette 5 sur les 2
autres ; en tout on a donc 5 ; faire écrire = 5.


Le travail doit être fait individuellement, corrigé de même, puis repris au tableau.
Un enfant lit ensuite l'opération elle-même.
Faire interchanger la place de 1 et 4 ; écrire 1 + 4 sous chaque plaquette en
précisant bien : je mets en plus la plaquette 4 ; faire trouver le résultat, et faire
remarquer que 1 + 4 = 4 + 1 (commutativité).
Recommencer de la même manière avec les autres décompositions possibles :
3 + 2 = 5
2 + 3 = 5
Bien s'assurer du sens des mots plus et égale; au besoin, demander que ferai-je
si j'écris + 2, + 3 ?

Méthode réciproque. -- Pour faire saisir à l'enfant que l'opération est un
symbole, il nous a semblé souhaitable de partir non de la manipulation, mais de
l'opération et de faire retrouver la manipulation.
Écrire au tableau 2 + 3 = .
Demander à l'enfant de mettre sous 2 la plaquette représentant 2 et d'ajouter, de
mettre en plus, celle de 3, de rechercher la plaquette unique qui remplacera les deux
; ainsi le sens du signe + se précise pour les élèves ; ils lient à un signe une première
signification, une première manipulation ; la difficulté rencontrée lorsque plusieurs
opérations sont mêlées montre la nécessité de ce travail.
Recommencer avec d'autres décompositions, mais ne plus guider l'enfant ; vérifier
individuellement, puis collectivement.


Méthode directe. -- Procéder d'une manière analogue ; mettre sur l'ardoise la
fiche 5 ; faire écrire dessous 5.
Demander à l'enfant d'enlever 1 ; on enlève 1, donc on l'a en moins, d'où le signe
-- 1 ; pour que cette opération puisse se faire manuellement, il est bon d'avoir au-
dessus de l'ardoise les résultats de l'addition, c'est-à-dire les décompositions
obtenues (5 = 2 + 3 = 4 + 1).
L'enfant sait que la plaque unique ou ces deux groupements sont identiques (voir
addition) ; il peut donc remplacer 5 par les deux plaquettes 4 et 1 et enlever 1 qu'il
gardera à la main ou mettra de côté à une place déterminée ; faire trouver le résultat;
l'écrire ; on a donc :

Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)


Faire répéter, comme pour l'addition, l'opération 5 ­ 1 = 4 ; recommencer avec 5 -
4 = 1, 5 - 3, 5 - 2.

Méthode réciproque. -- Comme pour l'addition et plus encore, il est bon de
faire retrouver la manipulation à l'aide de l'opération ; écrire au tableau 5 - 2 = .
Demander à l'enfant de manipuler avec ces plaquettes ; il mettra donc 5 (plaquette
entière), puis 5 avec la décomposition trouvée à l'addition ; il enlèvera 2 et mettra le
résultat 3. Ceci doit être corrigé individuellement ; il est bon de glisser pour éviter
l'automatisme, au milieu des soustractions, une addition du genre 3 + 2 = . ; on
s'apercevra que l'enfant a beaucoup de mal à attacher un sens au signe + et - ; il est
bon aussi de faire répéter par quelques élèves --2 veut dire que j'enlève 2 ; + 3 veut
dire que j'ajoute 3 à ce que j'ai déjà.

Poser au tableau un mélange d'opérations (+ et -).
Veiller à ce que le résultat des additions ne soit pas toujours 5.


Il faut veiller à la bonne présentation matérielle (en particulier, la position des
nombres les uns sous les autres).
Contrôle volant et rapide.
Mettre au tableau une opération du genre


La faire compléter par un volontaire ; ces opérations sont plus délicates et
montrent la réciprocité entre l'addition et la soustraction.
Pour contrôler la connaissance du sens des opérations, écrire au tableau
(opération sans signe)


et faire trouver le signe manquant qui convient.
Mettre côte à côte les mêmes nombres avec un résultat différent pour bien montrer
Fareng & Fareng, Comment faire l'apprentissage du calcul avec les enfants de 5 à 7 ans ? (1966)

le rôle essentiel du signe ; exemple :

Ceux-ci seront de deux sortes :
D'abord, il ne sera demandé aux élèves que le résultat final sans l'opération qui a
donné ce résultat.
Exemple : Paul avait 5 bonbons ; il en a mangé 3 ; combien en a-t-il encore?
Ne demander comme réponse que « 2 ».
Par le procédé Lamartinière, il est aisé de vérifier la classe entière ; mélanger à
chaque fois addition et soustraction ; ces problèmes sont, en général, bien faits.
Ensuite, il sera demandé l'opération justifiant le résultat, ainsi, pour le problème
cité, on exigerait 5 -- 3= 2 avec 2 souligné ; ces problèmes ont souvent un résultat
juste et une opération fantaisiste ; il faut donc y attacher beaucoup d'importance et
porter son effort sur l'obtention de cette opération.
Il serait bon ensuite de mettre une opération au tableau et de faire inventer le
problème par les élèves, problème qui amènerait à cette opération ; c'est, pour eux,
une sorte de jeu, passionnant.
Les problèmes doivent être aussi variés que possible au point de vue langage,
bien sûr, mais aussi au point de vue de l'opération : ex. : j'ai acheté 3 mètres de
ruban ; il m'en faut 5 ; combien dois-je en acheter encore?
Jean a 5 bonbons ; il en a 2 de plus que Paul. Combien en a Paul ? (difficulté à
cause de plus qui risque d'entraîner une addition pour ceux qui ne réfléchissent pas)


Il reste à mémoriser. L'enfant doit savoir par coeur la décomposition de 5 ; on peut,
avant de faire réciter, montrer les différentes plaquettes (3, 4, 2, 1) et dire je veux 5 ;
combien dois-je ajouter à ces plaquettes pour avoir 5 ? (Ne pas nommer les
plaquettes ; il faut que seule leur vue entraîne le nombre correspondant).
Il serait même utile de pouvoir montrer à ce stade des plaquettes sans points
visibles pour