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CORRIGE LES ANGLES GEOMETRIQUES.

Corrigé exercices révision géométrie

CORRIGE LES ANGLES GEOMETRIQUES. Sont abordés dans cette fiche (cliquez sur l'exercice pour un accès direct) • Exercice 1 angle inscrit dans un cercle (reconnaissance d'un angle inscrit) Sont abordés dans cette fiche • Exercice 1 montrer que deux angles sont complémentaires •

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CORRIGE LES ANGLES GEOMETRIQUES.

Corrigé Cours de Mr Jules v2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 1

CORRIGE LES ANGLES GEOMETRIQUES.

« Les Mathématiques représentent essentiellement le langage théorique universel.

C'est-àdire qu'à mon avis,

les seules possibilités rigoureuses d'accéder à une pensée ayant validité

universelle se font par les Mathématiques ou par des lois mathématiques.

Introduction.______________________________________________________________________ 2

Définition d’un angle géométrique.

_________________________________________________ 2

Mesure d’un angle.

______________________________________________________________ 3

Constructions d’angles.

___________________________________________________________ 6

Angles particuliers

____________________________________________________ 7

Angles et triangles : Constructions.

_________________________________________________ 9

Exercices récapitulatifs.__________________________________________________________ 10

Matériel : Pour ce cours,

vous aurez besoin de votre matériel de géométrie et en particulier du rapporteur

Pré requis pour prendre un bon départ :

A refaire

A revoir

Maîtrisé

Construire,

reproduire un triangle ou une figure à l’aide d’un compas.

Albert Einstein (14 mars 1879 à Ulm,

Allemagne

New Jersey,

États-Unis) physicien allemand,

(1896),

et enfin suisse-américain (1940).

Il a publié la théorie de la relativité restreinte en 1905 et celle de la relativité générale en 1915.

Il a largement contribué au développement de la

mécanique quantique et de la cosmologie.

Il a reçu le prix Nobel de physique en 1921 pour son explication de l'effet photoélectrique.

Son travail

est notamment connu pour l'équation E=mc² qui explique la puissance de l'énergie nucléaire.

Nom et Prénom : …………………………………………………

Corrigé Cours de Mr Jules v2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 2

INTRODUCTION.

Voici une figure que tous les enfants du monde connaissent

! Dessinez à main levée « la même »

en plus petit puis en plus grand (à peu prés et rapidement

Les « écartements » entre les côtés ont ils changé

Lorsqu’on veut reproduire des figures de manière « semblable » ( plus grandes ou plus petites que la

figure originale mais exactement de même forme),

on ressent tout de suite le besoin de savoir mesurer un

« écartement » entre deux demi droites.

Ainsi apparaît les notions d’angle géométrique (« l’écartement ») et de mesure d’angle.

DEFINITION D’UN ANGLE GEOMETRIQUE.

Figure : Voici dessiné l’angle a

ySx .

Sommet

Côtés

Cet angle a d’autres noms : a

ASB ou a

BSA ou a

BSy ou a

ySB ou a

ASx ou a

xSA .

Trois Définitions :

Un angle est un objet géométrique formé par 2 demi droites ayant le même point « origine ».

Ce point commun « origine » s’appelle le sommet de l’angle.

Les 2 demi droites s’appellent les côtés de l’angle.

Notation : Un angle de sommet U formé par [UF) et [UN) se note en 3 lettres a

étant le point au milieu du nom2.

Et on code l’angle avec un petit arc de cercle (voire deux) sur la figure.

Exercice 1 :Voici dessiné un angle.

BOA ou a

AOB ou a

vOB ou a

tOV .

Le point O est son sommet.

Les demi-droites [Ot) et [OA) sont ses côtés.

Parfois,

Attention,

cette notation est source de nombreuses erreurs de la part des élèves quand il y a plusieurs angles ayant le

Corrigé Cours de Mr Jules v2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 3

Exercice 2 : Voici plusieurs figures :

Compléter le tableau suivant ligne après ligne :

Angle

Sommet

Côtés

[CO) et [CR)

[Hx) et [Hy)

[Hy) et [Hx)

[RC) et [RO)

MESURE D’UN ANGLE.

Pour connaître « l’écartement » entre deux demi-droites de même origine,

il faut savoir mesurer un angle.

Unité :

Il existe 3 unités pour mesurer les angles.

Au collège,

on utilisera uniquement le degré (noté °).3

Remarque : Le degré n’est pas l’unité du Système International pour les angles.

C’est le radian,

Le rapporteur :

Pour mesurer des angles,

nous utiliserons un instrument en forme de demi lune : le Rapporteur.

Un rapporteur est en général gradué de 0° à 180°,

dans les deux sens pour qu’il soit plus pratique à utiliser

(comme celui qui est dessiné).

En est-il de même pour ton rapporteur

Si non,

Corrigé Cours de Mr Jules v2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 4

Comment mesure-t-on un angle avec le rapporteur

Méthode en 4 étapes

Placez le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle.

Faites bien coïncider l’une des 2 graduations « 0° » avec

l’un des deux côtés de l’angle.

Lire la mesure de l’angle en partant du 0° choisi à

jusqu’à l’endroit où l’autre côté de l’angle

« coupe » le rapporteur (allonger les côtés si besoin).

xOy ≈ 110°

Trois conseils :

Exercice 1: Les rapporteur sont ils bien placés

chaque angle (les graduations sont de 10° en 10° sur les rapporteurs dessinés).

Bien placé.

On lit (graduations de 10 en 10°) ≈ 50°.

Mal placé : le côté de l’angle n’est pas sur le

Angle ≈ 60°.

Mal placé : le centre du rapporteur ne coïncide

pas avec le sommet de l’angle.

On lit Angle ≈ 64°

Bien placé : on lit Angle ≈ 50°.

Corrigé Cours de Mr Jules v2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 5

Exercice 2 : Sans réfléchir,

je lis 80° pour la mesure de l’angle ci contre.

Pourquoi ai-je faux

Au lieu de lire l’angle de droite à gauche,

supplémentaire de gauche à droite qui fait effectivement

80°.

Sans utiliser de rapporteur,

l’angle : en comptant les graduations,

Exercice 3 :

Sans utiliser de rapporteur,

donnez la mesure des angles suivants :

xOy = 40°

tOy = 140°

zOx = 110°

tOz = 70°

zOy =

Exercice 4 :

Donne,

à l’aide de ton rapporteur,

une mesure en degré de l’angle dans chacune des figures (quitte à

prolonger les côtés de l’angle si besoin) :

100°

125°

Vous amusez vous bien

Corrigé Cours de Mr Jules v2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 6

CONSTRUCTIONS D’ANGLES.

Construction au rapporteur :

Il s’agit de construire un angle a

ABC de mesure 120° :

Méthode en 3 étapes

Placer le sommet B puis tracer la demi-droite

Figure

[BA) ou la demi-droite [BC).

A partir de ce côté [BA),

120°

Tracer la demi droite [BC).

Maintenant qu’on sait mesurer et construire un angle,

on va pouvoir reproduire un angle de même mesure

qu’un angle déjà dessiné.

Il y a 2 méthodes :

Reproduction d’un angle en utilisant le rapporteur :

Il s’agit de construire un angle a

nRj de même mesure que a

yOx ci contre :

Méthode en 4 étapes.

Mesurer l’angle déjà dessiné : a

yOx = 30°.

Tracer une demi droite [Rj) quelconque.

A l’aide du rapporteur,

nRj = a

yOx = 30°

Tracer la demi droite [Rn).

Coder ces 2 angles de même mesure.

Reproduction d’un angle en utilisant le compas :

Il s’agit de construire au compas un angle a

NRJ de même mesure que a

yOx ci contre :

Méthode en 3 étapes.

En fait,

on va placer un point A sur un côté de

l’angle dessiné et un point B sur l’autre côté et

on va reproduire le triangle AOB au compas.

Placer A sur [Oy) et B sur [Ox).

Construire à la règle et au compas un triangle

NRJ identique à AOB,

R et J

Prolonger les demi droites [RN) et [RJ) puis

placer le codage pour l’angle a

NRJ .

Corrigé Cours de Mr Jules v2.3

Contrat 4 page 7

Cours de Sixième

ANGLES PARTICULIERS

CLASSIFICATION.

Voici les 5 angles particuliers à connaître et leurs noms :

Dessine un angle a

DEF dont les 2 côtés sont superposés.

Dessine un angle a

GHI dont les 2 côtés sont dans le

prolongement l’un de l’autre.

GHI est un angle plat et a

GHI = 180°

DEF est un angle nul et a

DEF = 0°

Dessine un angle a

ABCdont les 2 côtés [BA) et [BC) sont

ABCest un angle droit et a

ABC = 90°

a plus grand que l’angle nul mais

Dessine un angle MNO

Dessine un angle a

JKL plus grand que l’angle droit

plus petit que l’angle droit.

mais plus petit que l’angle plat.

JKL est un angle obtus

JKL < 180°

Classification croissante des angles selon leurs mesures :

On va classer les angles suivant l’ordre croissant de leur mesure.

Catégorie

Angle nul

Angle aigu

Angle droit

Mesure

xOy = 0°

Angle plat

Figure

Angle obtus

0° < a

xOy < 90°

xOy = 90°

90° < a

xOy < 180°

xOy = 180°

Page 7

Corrigé Cours de Mr Jules v2.3

Contrat 4 page 8

Cours de Sixième

Remarque :

Lorsqu’on regarde deux demi droites de même origine,

compte en fait qu’on a deux angles : un « petit » angle codé par

un petit arc de cercle (en pointillé sur la figure),

et un « grand » angle codé par un grand arc de cercle à « l’extérieur ».

Le petit angle s’appelle un angle saillant et est noté a

Et on a 0° < a

BAC < 180°.

Donc un angle saillant est un angle plus petit qu’un angle plat.

Le grand angle s’appelle un angle rentrant et est noté b

Et on a 180° < b

BAC < 360°.

Donc un angle rentrant est un angle plus grand qu’un angle plat.

Angle saillant

Angle rentrant

Exercice : Complétez le tableau comme pour l’angle 1.

Certaines cases peuvent être vides

Nom de

Saillant ou

Aigu ou

Page 8

Corrigé Cours de Mr Jules v2.3

Contrat 4 page 9

Cours de Sixième

ANGLES ET TRIANGLES : CONSTRUCTIONS.

A partir des longueurs des 3 côtés (rappel) :

Méthode générale pour tracer une figure à partir d’un énoncé :

on fait d’abord un croquis à main levée,

figure pour avoir une idée de sa forme.

On reporte sur ce croquis les informations données par l’énoncé (longueurs,

2 Puis,

on suit le plan de construction,

Attention aux notations

Pour tracer un triangle quelconque au compas et à la règle graduée,

longueurs (2 voire 1 longueurs seulement quand le triangle est spécial).

Tracez le triangle ABC sachant que AB = 8 cm,

AC = 3 cm,

BC = 6 cm.

Plan de construction en 3 étapes

Figure (croquis d’abord)

[AB] de longueur 8 cm.

AC = 3 cm et BC = 6 cm.

A partir d’un angle et des deux longueurs adjacentes :

On utilise en plus de la règle graduée et du compas,

Et on fait d’abord un petit croquis avec les mesures pour se faire une idée.

Tracez le triangle UFN sachant que d

F = 20°,

UF = 4 cm et FN = 6 cm.

Plan de construction en 3 étapes.

Figure (croquis d’abord)

[FN] de longueur 6 cm.

NFU tel que :

NFU = 20°

20,00°

UF = 4 cm

Puis tracer [UN].

Page 9

Corrigé Cours de Mr Jules v 2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 10

A partir de la longueur d’un côté et des 2 angles adjacents à ce côté :

On utilise en plus de la règle graduée et du compas,

Et on fait un petit croquis avec les mesures pour se faire une idée.

Tracez le triangle BOL sachant que BO = 5 cm,d

B = 40° et d

O = 50°.

Figure (croquis d’abord)

Plan de construction en 4 étapes

LBO tel que :

LBO = 40°

BOL tel que :

40,00°

50,00°

BOL = 50°

Pour pouvoir construire un triangle,

combien faut il toujours au minimum d’informations

Exemples : triangle dont on connaît 2 angles et 1 longueur

triangle rectangle isocèle et 1 longueur

EXERCICES RECAPITULATIFS.

Exercice 1 : Reproduis ces figures en vraie grandeur.

109°

132°

Calculer L'(ABCD) = AB + BC + CD

12 cm

La longueur de la ligne polygonale ABCD est de 12 cm.

110°

110°

Page 10

Corrigé Cours de Mr Jules v 2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 11

110°

120°

120°

110°

Exercice 2

Construis un quadrilatère ABCD tel que :

120 °

AB = 5 cm,

ABC = 90°,

BC = 3 cm

BCD = 70° et a

BAD = 120°.

70 °

Exercice 3 : Calculer l’ angle a

xAy sachant que :

zAx = 40° et a

yAz est un angle droit.

zAx = 110° et a

zAy = 80°.

(Méthode par addition d’angles)

(Méthode par soustraction d’angles)

xAy = a

zAx + a

xAy = a

zAx − a

130°

Exercices : n°56

Exercice 4 :

Pour bien répondre aux questions,

faut toujours avoir une vision large

des angles (méthodes par addition

Calculer la mesure de l’angle a

FAD = a

FAB − a

Calculer la mesure de l’angle a

BCD = a

ACD − a

124°

Que représente la droite (DF) pour l’angle a

D’après le codage,

(DF) partage l’angle a

ADE en 2 angles a

ADF et a

FDE de même mesure,

ADE .

En déduire la mesure de l’angle a

Puisque (DF) est la bissectrice de l’angle a

ADE ,

ADE = 2 a

ADF = 2 × 17° = 34°.

Corrigé Cours de Mr Jules v 2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 12

CORRECTION : L’ARRIVÉE DE LA RÉGATE

Pour repérer l’arrivée des bateaux 2 personnes se sont placées en deux points A et B de la jetée.

Elles

ont mesuré que l’angle sous lequel on voit le bateau n°2 par rapport à la jetée est de 68° depuis le

point A et de 54° depuis le point B.

Le tableau ci-dessous donne les angles pour les 6 bateaux de la régate.

Replacez chacun de ces

bateaux sur le plan ci- dessous et donnez le classement provisoire.

Ligne d’arrivée

Corrigé Cours de Mr Jules v 2.3

Classe de Sixième

Contrat 4 page 13

CORRIGE LA GRANDE OURSE4 ET LE RAPPORTEUR

En bas et à gauche de cette feuille se

trouve une figure (c'est la Grande

Ourse).

Reproduis-la

graduée et ton rapporteur en ne tenant

543210

compte que des indications portées sur la

Nous avons déjà reproduit le segment

[AB].

Continue en partant de B.

Lorsque

diagonales du quadrilatère DEFG.

Elles

se coupent en un point qui doit tomber

au centre de la cible si tes tracés sont

102°

106°

128°

174°

137°

AB = 60 mm

BC = 44 mm

CD = 49 mm

DE = 41 mm

Cherchez ce qu’est la Grande Ourse.